函数极限
函数极限
度量空间上的极限
设
是两个度量空间, 。在这一节中,我们关注当 在 中趋向于 时, 的极限。 例：记
,定义 上的度量为 则 构成一个紧致度量空间。对于 的任一无穷子集 (比如 ) , 。这对应数列(或点列)极限的情形。 例：设
,其中 是由某些范数诱导的度量, 是 中的区域(或流形) , 。这是我们在数学分析(二)中主要关注的情形。
开球版定义
定义(开球版)：条件同前,设
。若对任意的 ,存在 ,使得对于任意的 (或者等价地,对于任意满足 的 ) ,都有 (或者等价地, ) ,则称当 在 中趋向于 时, 有极限 ,记为 。当不需要强调 时,亦可简记为 。 例:当
时,注意 所以“存在 使得……”可改为“存在 使得……” ,这就得到了通常的数列极限的定义。 因为
未必属于 ,所以 在 处未必有定义,因此要用去心邻域 。
邻域版定义
- 引理：
- 若极限
存在,则它是唯一的。 - 若极限
存在,则 在 附近有界。
- 若极限
- 定义：设
是一个度量空间, 、 。若存在 ,使得 ,则称 是 的一个邻域。若 且 是 的邻域,则称 是 的一个去心邻域。 - 定义 (邻域版):条件同前。
当且仅当对 的任意邻域 、存在 的去心邻域 ,使得 。
复合函数的极限
定理 (复合函数的极限):设
Heine 归结原理
- 定理 (Heine 归结原理):设
同前,则 存在当且仅当对于任意取值在 中且极限为 的点列 ,极限 都存在。 - 推论 (子列定理):
当且仅当对于点列 的任何子列 有 。
列紧性
- 定义:设
,若任意 中的点列都有收敛于 中的子列,则称 是列紧的。 - 定理:列紧
聚点紧( 紧 有界闭) 。
代数性质
设
Cauchy 准则
定义:设
是度量空间, 是 中的点列。若对任意的 ,存在 ,使得只要 ,就有 ,则称 是一个 Cauchy 列. 若
中的每个 Cauchy 列都收敛,则称 是完备的。 定理 (点列版):设
是 上由某个范数诱导的度量,则 完备。 定理 (函数版):设
是度量空间, 完备, ,则 存在当且仅当对任意的 ,存在 ,使得对于任意的 ,有 。
压缩映照原理(Cauchy准则例子)
- 定义：设
是度量空间,若函数 满足 , 则称 为 上的压缩映照。 - 定理 (压缩映照原理,或 Banach 不动点原理):设
是完备度量空间 上的压缩映照,则存在唯一的 ,使得 。
连续函数
连续函数的定义
设
- 定义；设
,如果对于任意的 、都存在 、使得对于任意的 (或等价地, 对于任意满足 ) ,都有 (或等价地, , 则称 在 处连续。若 在 的每个点处连续,则称 在 上连续。从 到 Y 的连续函数的全体记为 ,若 ,亦可简记为 。 - 注:
- 若
是孤立点,则 在 处一定连续; - 若
不是孤立点,则 在 处连续当且仅当 ; - 连续函数定义不需要去心邻域。
- 若
- 定义 (邻域版):
在 处连续当且仅当对 的任意邻域 、存在 的邻域 ,使得 。 - 定理 (复合函数的连续性):条件类似复合函数的极限。若
在 处连续、 在 处连续,则 在 处连续。 - 定理 (开集刻画 ⇝ 拓扑空间上的连续映射):
在 上连续当且仅当对于 中的任意开(或闭)集 是 中的开(或闭)集。 - 推论 (在子空间上的连续性):设
在 上连续, 是 的子集,则 在 上连续。
向量值函数的连续性
设
- 定理:将
记为 ,则 当且仅当 。
连续函数的整体性质
- 定理:设
连续。 - 若
紧致,则 也紧致; - 若
连通,则 也连通;
- 若
- 推论 (有界性定理与最值定理):设
连续、 紧,则 是有界函数,且能达到最大值和最小值。 - 推论 (介值定理):设
连续、 连通。若 满足 ,则对于任意的 ,存在 使得 。 - 范数等价性:在
上,任何两个范数都等价。 - 紧压缩映照原理:设
是一个紧致、完备度量空间, 满足对于任意的 ,有 则存在唯一的 使得 。
一致连续性
- 定义:设
、 、 同前。若对于任意的 ,存在 ,使得对于任意的 ,只要 ,就有 ,则称 在 上一致连续。 - 定理:若
是紧集 上的连续函数,则 在 上一致连续。
同胚
- 定义:设
是拓扑空间,若存在双射 使得 和 都是连续的则称 和 同胚。 是同胚当且仅当 是连续双射,并且将开(或闭)集映成开(或闭)集。 - 若
同胚,则 紧(或连通、或道路连通)当且仅当 紧(或连通、或道路连通) 。 - 例：
与 不同胚、 与 不同胚、 与 不同胚; - 紧集的同胚:
- 定理:设
、 、 是连续双射,若 紧,则 是同胚。 - 设
紧、 是连续单射,则 与 同胚。
- 定理:设
